CLASE 7 DESCUENTO COMPUESTO

Descuento compuesto

La ley financiera de descuento compuesto viene definida de la siguiente manera:

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) 

El signo " ^ " significa "elevado a". Recordemos que "(1+d)^-t" es lo mismo que "1/(1+d)^t"
" D " son los intereses de descuento
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión

El capital final queda definido de la siguiente manera:

Cf = Co - D


Cf = Co - ( Co * (1 - (1 + d) ^ -t ))
(sustituyendo "D")
Cf = Co * (1 - (1 - (1 + d) ^ -t ))
(sacando factor común Co)
x
luego, Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 900.000 €., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

Aplicamos la fórmula D = Co * (1 - ((1 + d) ^ -t ))

luego,  D = 900.000 * (1 - (1,14) ^ -0,666)
(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)
luego,  D = 900.000 * (1 - 0,9164)
luego,  D = 75.281 €.

Calculamos ahora el capital final, utilizando dos procedimientos:

a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):

luego, Cf = 900.000 - 75.281
luego, Cf = 824.719 €.

b) Aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
x
luego, Cf = 900.000 * (1,14) ^ -0,666
luego, Cf = 1.200.000 * 0,9164
luego, Cf = 824.719 €.

La ley de descuento compuesto  es inversa de la ley de capitalización compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 2.000.000 €, por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés.

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

luego, Cf = 2.000.000 * (1 + 0,15) ^ -0,5
luego, Cf = 1.865.010 €

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización compuesta Cf = Co * ( 1 + i) ^ t
(El capital descontado, 1.865.010 €, pasa a ser ahora "Co")

luego, Cf = 1.865.010 * (1 + 0,15) ^ 0,5
luego, Cf = 1.865.010 * 1,072381
luego, Cf = 2.000.000 €.

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo.
En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.  

 Ejercicios

Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2.500.000 €. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b) descuento racional. c) descuento compuesto
Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año.
Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y medio.
Ejercicio 4: En el ejercicio 1º, calcular los tipos de interés que habría que aplicar en el descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo resultado que en el descuento comercial.
Ejercicio 5: Los intereses de descontar 2.000.000 €. a un tipo del 10% ascienden a 150.000 €. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto. 

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Ley de descuento comercial 
 
Intereses de descuento
D = Co * d * t
Luego, 
D = 2.500.000 * 0,12 * 0,33
Luego, 
D = 100.000 €.
 
b) Ley de descuento racional 
 
Intereses de descuento
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 
D = (2.500.000*0,12*0,33)/(1+0,12*0,33)
Luego, 
D = 96.154 €.
 
c) Ley de descuento compuesto 
 
Intereses de descuento
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 
Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-0,33)
Luego, 
Cf = 92.679 €.
Al ser la operación a menos de 1 año, los intereses del descuento racional son superiores a los del descuento compuesto.
Ejercicio 2:

a) Ley de descuento comercial 
 
Intereses de descuento
D = Co * d * t
Luego, 
D = 2.500.000 * 0,12 * 1
Luego, 
D = 300.000€.
 
b) Ley de descuento racional 
 
Intereses de descuento
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 
D = (2.500.000*0,12*1)/(1+0,12*1)
Luego, 
D = 267.857€
 
c) Ley de descuento compuesto 
 
Intereses de descuento
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 
Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1)
Luego, 
Cf = 267.857€.
Al ser la operación a 1 año, coinciden los intereses del descuento racional y los del descuento compuesto.
Ejercicio 3:

a) Ley de descuento comercial 
 
Intereses de descuento
D = Co * d * t
Luego, 
D = 2.500.000 * 0,12 * 1,5
Luego, 
D = 450.000 €
 
b) Ley de descuento racional 
x 
Intereses de descuento
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 
D = (2.500.000*0,12*1,5)/(1+0,12*1,5)
Luego, 
D = 381.356€.
 
c) Ley de descuento compuesto 
x 
Intereses de descuento
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 
Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1,5)
Luego, 
Cf = 390.823 €.
Al ser la operación a más de 1 año, los intereses del descuento compuesto son superiores a los del descuento racional.
Ejercicio 4:

En el ejercicio 1, aplicando la ley de descuento comercial, los intereses de descuento han ascendido a 100.000 €. El tipo de interés ha sido del 12%

a) Aplicando la ley de descuento racional

Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 100.000 = (2.500.000*d*0,33)/(1+d*0,33)
Luego, 100.000 = 833.333,3*d/(1+d*0,33)
Luego, 100.000+33.333*d = 833.333,3*d
Luego, d=0,125

Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento racional para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 12,5%

b) Aplicando la ley de descuento compuesto

Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 100.000 = 2.500.000*(1-(1+d)^-0,33)
Luego, 100.000/2.500.000 = 1-(1+d)^-0,33
Luego, 0,04 = (1-(1+d)^-0,33)
Luego, (1+d)^-0,33 = 0,96
Luego, 1+d = 1,13028
Luego, d = 0,13028

Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento compuesto para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 13,028%
Ejercicio 5:

a) Ley de descuento comercial 
 
Intereses de descuento
D = Co * d * t
Luego, 
150.000 = 2.000.000 * 0,10 * t
Luego, 
t = 0,75
 
Por lo tanto, el plazo sería de 0,75 años, o lo que es lo mismo, 9 meses
b) Ley de descuento racional 
 
Intereses de descuento
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 
150.000=(2.000.000*0,10*t)/(1+0,10*t)
Luego, 
150.000*(1+0,10*t)=200.000*t
Luego, 
150.000+15.000*t=200.000*t
Luego, 
150.000=185.000*t
Luego, 
t = 0,8108
 
Por lo tanto, el plazo sería de 0,8108 años, o sea, 9,7 meses
 
c) Ley de descuento compuesto 
 
Intereses de descuento
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 
150.000=2.000.000*(1-(1+0,10)^-t)
Luego, 
150.000=2.000.000*(1-(1,1)^-t)
Luego, 
150.000/2.000.000=1-(1,1)^-t
Luego, 
0,075=1-(1,1)^-t
Luego, 
(1,1)^-t=0,925
Luego, 
(1,1)^t =1/0,925
Luego, 
(1,1)^t =1,08108
Luego, 
ln (1,1)^t =ln 1,08108 (aplicamos logaritmos neperianos)
Luego, 
t= ln 1,08108 / ln 1,1
Luego, 
t = 0,8180

Por lo tanto, el plazo sería de 0,8180 años, o sea, 9,8 meses