Rentas
con distintos tipos de interés
Hay rentas a las que se aplican distintos tipos de interés según los periodos:
Por ejemplo: Una renta de 3
años de duración a la que se aplican los siguientes tipos: 8% en el 1er año; 9%
en el 2º año y 10% en el 3er año.
En estos casos hay que valorar
cada tramo de forma independiente y sumar luego los valores obtenidos de cada
tramo.
Ejemplo: Calcular el valor
inicial de una renta anual pospagable de 1.000.000 €. y de 9 años de duración,
a la que se le aplica el 5% en los 3 primeros años, el 6% en los 3 siguientes y
el 7% en los 3 últimos:
Hay que calcular el valor
inicial de cada tramo y sumarlo:
1) El primer tramo
comprende 3 años y en el cálculo de su valor inicial se puede seguir el modelo
de una renta normal pospagable:
Por lo tanto se aplica la
fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 -
(1 + 0,05)^-3)/ 0,05)
luego, Vo = 1.000.000 *
2,7232
luego, Vo = 2.723.248 €
Por lo tanto, el valor actual
de la renta de este primer tramo es de 2.723.348 €
2) Para el 2º tramo se calcula
su valor actual al comienzos de dicho periodo (comienzos del 4º año) y luego se
descuenta hasta el momento 0.
Se aplica la misma formula que
en el caso anterior para calcular el valor actual a comienzos del 4º año:
x
luego,
Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 -
(1 + 0,06)^-3)/ 0,06)
luego, Vo = 2.673.012 €
El valor así calculado se
descuenta 3 años (periodo diferido), pero en este descuento se aplica el tipo
de interés del 1er periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años
luego, Vk = 2.673.012 * (1 +
0,05)^-3
luego, Vk = 2.309.038 €
Por lo tanto, el valor en el
momento 0 de las rentas correspondientes al 2º tramo es de 2.309.038 €
3) En el 3º tramo se aplica el
mismo método: se calcula su valor actual al comienzo de dicho periodo
(comienzos del 7º año) y luego se descuenta por el periodo diferido.
Cálculo de su valor actualizado
a comienzos del 7º año:
luego,
Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 -
(1 + 0,07)^-3)/ 0,07)
luego, Vo = 2.624.316 €
Este valor se descuenta 6 años
(periodo diferido): los 3 primeros aplicando el tipo del primer tramo (5%), y
en los 3 siguientes, el del 2º tramo (6%).
luego, Vk = 2.624.316 * (1 +
0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3
luego, Vk = 1.903.264€
El valor en el momento 0 de las
rentas correspondientes al 3º tramo es de 1.903.264 €
4) Una vez calculado el valor
actual de los tres tramos se suman y se obtiene el valor actual de toda la
renta.
luego, Vo = 2.723.248 +
2.309038 + 1.903.264
luego, Vo = 6.935.550 €
Por lo tanto, el valor actual
de toda la renta es de 6.935.550€
En este tipo de renta en la que
se aplican diversos tipos de interés resulta interesante conocer el tipo medio
resultante.
Para ello se aplica la formula
como si se tratara de una renta normal, con un sólo tipo de interés, y se
despeja de la formula este tipo de interés medio:
luego,
Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, 6.935.550 = 1.000.000 *
((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es el tipo medio)
El cálculo de im exige una
calculadora financiera, o se puede hacer por tanteo
luego im = 5,555% (calculado
por tanteo)
Por lo tanto, la renta que
hemos visto con tres tipos de interés diferentes es equivalente a una renta de
igual duración y con los mismo términos de 1.000.000€., con un tipo de interés
constante del 5,555%.
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