Descuento racional.
La ley financiera de
descuento racional viene definida de la siguiente manera:
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
" D " son los intereses que hay que pagar
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:
Cf = Co - D
Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t))
(sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))
(sacando factor común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t))
(operando en el paréntesis)
luego, Cf = Co / (1 + d * t)
" Cf " es el capital final
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 €., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.
Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666)
(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)
luego, D = 102.345 €
Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:
a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):
luego, Cf = 1.200.000 - 102.345
luego, Cf = 1.097.655€
b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)
luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324
luego, Cf = 1.097.655€
La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que esta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.
Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 €, por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.
a) Aplicando el descuento racional
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 952.381 €
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t))
(El capital descontado, 952.381 € pasa a ser ahora "Co")
luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 1.000.000 €
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida
b) Aplicando el descuento comercial
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 950.000 €
Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))
luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 997.500 €
No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia
Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
" D " son los intereses que hay que pagar
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:
Cf = Co - D
Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t))
(sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))
(sacando factor común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t))
(operando en el paréntesis)
luego, Cf = Co / (1 + d * t)
" Cf " es el capital final
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 €., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.
Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666)
(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)
luego, D = 102.345 €
Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:
a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):
luego, Cf = 1.200.000 - 102.345
luego, Cf = 1.097.655€
b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)
luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324
luego, Cf = 1.097.655€
La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que esta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.
Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 €, por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.
a) Aplicando el descuento racional
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 952.381 €
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t))
(El capital descontado, 952.381 € pasa a ser ahora "Co")
luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 1.000.000 €
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida
b) Aplicando el descuento comercial
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 950.000 €
Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))
luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 997.500 €
No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia
Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial
EJERCICIOS
Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000€ por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial.
Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de 1.000.000 €. por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a 40.000 € Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional).
Ejercicio 3:Se descuentan 200.000 €. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000 €. Calcular el plazo del descuento (descuento racional).
Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a 120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional).
Ejercicio 5: Se descuentan 2.000.000€. por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, D = ( 500.000 * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333)
Luego, D = 19.212 €
b) Aplicando el descuento comercial: D = Co * d * t
Luego, D = 500.000 * 0,12 * 0,333
Luego, D = 19.980 €
Ejercicio 2:
La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 40.000 = (1.000.000 * d *0,25 ) / (1 + d * 0,25)
Luego, 40.000 = (250.000 * d) / (1 + d * 0,25)
Luego, 40.000 + 10.000 * d = 250.000 * d
Luego, d = 40.000 / 240.000
Luego, d = 0,1666.
Por lo tanto, el tipo de descuento aplicado es el 16,66%
Ejercicio 3:
La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 15.000 = (200.000 * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t)
Luego, 15.000 = (24.000 * t) / (1 + 0,12 * t)
Luego, 15.000 + 1.800 * t = 24.000 * t
Luego, t = 15.000 / 22.200
Luego, t = 0,67567
Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo que es lo mismo, 8,1 meses.
Ejercicio 4:
La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 120.000 = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666)
Luego, 120.000 = (Co * 0,0666) / 1,06666
Luego, Co = 120.000 * 1,06666 / 0,0666
Luego, Co = 1.920.000€
Ejercicio 5:
Primero vamos a calcular a cuanto ascienden los intereses de descuento aplicando la fórmula del descuento racional
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, D = ( 2.000.000 * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333)
Luego, D = 64.516 €
Una vez calculado los intereses de descuento, tengo que ver que tipo de interés tendría que aplicar en el descuento comercial para obtener el mismo resultado
La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t
Luego, 64.516 = 2.000.000 * d * 0,333
Luego, d = 64.516 / 666.666
Luego, d = 0,096774
Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en descuento comercial sería el del 9,6774%.
Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los intereses del descuento comercial son mayores que los del racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del descuento comercial tendrá que ser menor.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario