CLASE 11 RENTA CONSTANTE TEMPORAL PREPAGABLE

Renta constante temporal prepagable 

La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes).

Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 €. en cada periodo)

Periodo

1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (ptas)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto

Vamos descontando cada importe:

Periodo

Importe

Importe descontado

1 1 1

2 1 1 / ( 1 + i )

3 1 1 / ( 1 + i )^2

..... ..... ..... 

..... ..... ..... 

n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3

n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2

n 1 1 / ( 1 + i )^n-1

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 €, durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)

luego, Ao = 1,16 * 2,7982

luego, Ao = 3,246 €

Luego el valor actual de esta renta es 3,246 €

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual

.

Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una renta pospagable:

Äo = (1 + i) * Ao

Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era pospagable:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-4)/ 0,16

luego, Ao = 2,7982 €

Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao

luego, Äo = 1,16 * 2,7983

luego, Äo = 3,246 €. (coincide con el valor que habíamos calculado)

Vemos, por tanto, como se cumple la relación

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria:

Periodo

Importe

Importe capitalizado

1 1 1 * ( 1 + i )^n

2 1 1 * ( 1 + i )^n-1

3 1 1 * ( 1 + i )^n-2

..... ..... ..... 

..... ..... ..... 

n-2 1 1 * ( 1 + i )^3

n-1 1 1 * ( 1 + i )^2

n 1 1 * ( 1 + i )

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la fórmula S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

luego, S¨f = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16)^4 - 1) / 0,16)

luego, Sf = 1,16 * 5,0664

luego, Sf = 5,877€

Luego el valor final de esta renta es 5,877 €.

La relación entre S¨f y el valor final de una renta pospagable Sf es la siguiente:

S¨f = (1 + i) * Sf

(Realizar la misma comprobación que hemos realizado con el valor incial)

Por otra parte, la relación entre el valor inical Aö y su valor final S¨f es:

S¨f = (1 + i)^n * Äo

Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:

Hemos visto que Äo = 3,246 €.

y que S¨f = 5,877 €

Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (i+0,16)^4

Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106

Luego 5,877 = 5,877

Se cumple, por tanto, la relación

Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como se valora una renta de importes constantes.

El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será:

Vo = C * Ao

Por lo que:

 Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 500.000 €, durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral 

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 

Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2  

Luego, i2 = 5,83%  

Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la fórmula del valor actual,  

Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2)

luego, 

 Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^-10)/0,0583) 

"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base semestral).

luego,  Vo = 3.926.151€.

El valor actual de esta renta es de 3.926.151 €.

Para calcular el valor final "Vn"

        Vn = C * Sf

        Por lo que:

         Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)^n - 1) / i2)  

luego,  Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)^10 - 1) / 0,0583)  

luego,  Vn = 500.000 * 13,8384  

luego,  Vn = 6.919.185 €  

Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 €