Renta Perpetua Constante
La renta perpetua constante es aquella de duración
infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título
de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo).
Al igual que las rentas temporales, las rentas
perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada
subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).
A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las
rentas unitarias:
Periodo
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1
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2
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3
|
4
|
5
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
Importe (€)
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos
por APo. Vamos descontando cada importe:
Periodo
|
Importe
|
Importe descontado
|
1
|
1
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1 / ( 1 + i )
|
2
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^2
|
3
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^3
|
4
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^4
|
5
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^5
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^....
|
La suma de todos los importes descontados es el valor
actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una
renta perpetua anual pospagable de 1 euro, con un tipo de interés anual del
16%:
Aplicamos la fórmula APo = 1 /
i
|
luego, APo = 1 /
0,16
|
luego, APo = 6,25
€.
|
Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando
una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor
actual será:
Vo = C * APo = C / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una
renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 €, con un tipo de interés
anual del 10%:
Como los importes son semestrales tendremos que
utilizar la base semestral
|
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
|
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2
|
Luego, i2 = 4,88%
|
Aplicamos ahora la fórmula de valor
actual, Vo = C / i
|
luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488
|
luego, Vo = 20.491.803 €
|
En las rentas perpetuas no se puede calcular valor
final (ya que nunca finalizan).
B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que
representaremos por Po.
Periodo
|
Importe
|
Importe
descontado
|
1
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1
|
1
|
2
|
1
|
1 / ( 1 + i )
|
3
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^2
|
4
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^3
|
5
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^4
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i
)^....
|
Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Po = (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual
prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula Po = (1 +
i) / i
|
luego, Po = (1 + 0,16) /
0,16
|
luego, Po = 7,25 €.
|
Si la renta es de importe constante "C",
entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * Po = C * (1 +
i) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una
renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000€., con un tipo de interés
anual del 10%:
Aplicamos la fórmula de valor actual,
Vo = C * (1 + i) / i
|
luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 /
0,0488
|
luego, Vo = 21.491.803 €.
|
La relación entre el valor actual de una renta
perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable Po es
la siguiente:
Po = (1 + i) * APo
Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta
unitaria.
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