Préstamos
con distintos tipos de interés
En algunos préstamos se establecen distintos tipos de
interés según el periodo:
Por ejemplo: 8% durante los dos primeros años, 9%
durante el 3º y 4º año, y 10% durante los dos últimos años.
Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el
tipo de interés va aumentando a medida que se incrementa el plazo.
Aparte de esta peculiaridad, estos préstamos pueden
seguir el desarrollo de algunos de los modelos que hemos analizado (cuotas
periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.). Vamos a ver
un ejemplo de un préstamo que sigue el modelo de cuotas constantes.
a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas
constantes
Supongamos que se han establecido 2 tramos: uno que va
desde el inicio hasta el periodo "s", con un tipo de interés "i1",
y un segundo tramo que va desde el periodo s+1 hasta el vencimiento, con un
tipo de interés "i2". Entonces:
Co = (AMs *
Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
|
Donde AMs es el valor de la
cuota periódica constante y Co es el importe inicial del
préstamo
|
Donde (AMs * Ao) es
el valor actualizado del primer tramo (Ao es el valor actual
de una renta pospagable, constante, de "s" periodos de duración y
con tipo de interés i1)
|
Donde (AMs * (1 + i1)^-s *A1) es
el valor actualizado del segundo tramo (A1es el valor en el
momento "s" de una renta pospagable constante, desde el periodo
"s+1" hasta el periodo "n", y con tipo de interés i2)
|
Como A1 es el valor en el
momento "s", hay que actualizarlo hasta el momento 0, de ahí el
paréntesis (1 + i1)^-s
|
Es interesante ver como para descontar este segundo
termino hasta el momento "0" se aplica el tipo de interés del
primer tramo, ya que es el que está vigente entre el momento 0 y el momento
"s"
|
Ejemplo:
Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de
amortización de un préstamo de 4.000.000 €., a 6 años, con un tipo de interés
del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante:
Aplicamos la fórmula,
Co = (AMs * Ao)
+ (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
|
luego, 4.000.000 = (AMs *
((1 - (1+0,09)^-3)/0,09)) + (AMs *
(1+0,09)^-3* ((1 - (1+0,1)^-3)/ 0,1))
|
luego, AMs = 898.555
ptas.
|
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6
años será de 898.555 €
|
Para calcular que parte de la cuota
periódica corresponde a amortización de capital, procedemos de la siguiente
manera:
Se calculan los intereses que incluye la primera cuota
y por diferencia, la parte de la cuota que corresponde a devolución de capital:
M1 = AM1 + I1 (es
decir, la cuota periódica es la suma de devolución de capital y de pago de
intereses). Despejando, AM1 = A1 - I1
|
I1 lo podemos calcular: I1 =
Co * i1 * t
|
luego, I1 = 4.000.000 * 0,09 *
1
|
luego, I1 = 360.000 €
|
Por lo tanto, AM1 =
898.555-360.000
|
luego, AM1 = 538.555 €
|
Conociendo la devolución de principal del primer
periodo se puede calcular el resto de devoluciones de principal aplicando la
siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
|
Lo único que ocurre es que esta ley se
cumple mientras no cambia el tipo de interés. En el momento en que se inicia el
2º periodo ya no podemos seguir aplicando esta ley.
Vamos a calcular la devolución del principal del 2º y
3º periodo (no la del 4º porque ya cambia el tipo de interés):
Periodo
|
Devolución de
principal
|
||
año 2
|
AM2 = AM1 * (1 + 0,09)
|
=
|
587.025 €
|
año 3
|
AM3 = AM1 * (1 +
0,09)^2
|
=
|
639.857 €
|
Para calcular la devolución de principal en la 1º
cuota del segundo tramo (la correspondiente al 4º año), hay que empezar por
calcular los intereses que incluye esa cuota:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 *
i2 * t
|
Tenemos todos los datos menos el saldo vivo al final
del 3º periodo. Este saldo vivo lo podemos calcular:
Aplicamos la fórmula: S3 = C0 -
AM1 - AM2 - AM3
|
luego, S3 = 4.000.000 - 538.555
- 58.025 - 639.857
|
luego, S3 = 2.234.563 €.
|
Ya se pueden calcular los intereses del 4º periodo:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 *
i2 * t
|
luego, I4 = 2.234.563 * 0,1 *
1
|
luego, I4 = 223.456 €
|
Una vez calculado los intereses del 4º periodo, por
diferencia podemos calcular la parte de la cuota que corresponde a amortización
de capital:
AM4 = A4 - I4
|
luego, M4 = 898.555 -
223.456
|
luego, M4 = 675.099 €.
|
El resto de amortizaciones de capital del 2º tramo, se
calcula aplicando la formula que conocemos:
AMs = AM4 * (1 + i2)^s-4 (tomamos
como punto de partida el año 4)
|
Por lo tanto:
Periodo
|
Devoluci�n de principal
|
||
año 5
|
AM5 = AM4 * (1 +
0,10)
|
=
|
742.609 €
|
año 6
|
AM6 = AM4 * (1 +
0,10)^2
|
=
|
816.870 €
|
De esta manera, ya conocemos la devolución
de principal de todos los periodos. Por diferencia, se calcula la parte de
intereses de cada cuota y también es fácil ver como evoluciona el saldo vivo y
el capital amortizado.
La tabla de amortización del préstamo quedaría:
Periodo
|
Saldo vivo
|
Amortización
de capital
|
Intereses
|
Cuota
periódica
|
Capital
amortizado
|
año 0
|
4.000.000
|
0
|
0
|
0
|
0
|
año 1
|
3.461.445
|
538.555
|
360.000
|
898.555
|
538.555
|
año 2
|
2.874.420
|
587.025
|
311.530
|
898.555
|
1.125.580
|
año 3
|
2.234.563
|
639.857
|
258.698
|
98.555
|
1.765.437
|
año 4
|
1.559.464
|
675.099
|
223.456
|
898.555
|
2.440.536
|
año 5
|
816.870
|
742.609
|
155.946
|
898.555
|
3.183.145
|
año 6
|
0
|
816.870
|
81.685
|
898.555
|
4.000.000
|
b) Préstamos con distintos tipos de
interés y devolución de principal constante
En este tipo de préstamos se amortiza el
mismo capital en todos los periodos, con independencia del tipo de interés
vigente en ese momento.
Ejemplo:
Calcular la amortización de capital
constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 €., a 6 años,
con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los
3 restante:
El importe constante de la amortización de capital
se calcula a partir de la fórmula AMs = C0 /
n (siendo "n" el número de periodos)
|
Por lo tanto, AMs = 4.000.000 /
6
|
luego, AMs = 666.666 €.
|
La amortización anual de capital durante cada uno de
los seis años de vida del préstamo va a ser de 666.666 €.
|
Conociendo el importe de la amortización
de capital, es inmediato ver la evolución del saldo vivo y del capital
amortizado:
Ss = C0 - S AM (es
decir, el saldo vivo So es igual al capital inicial
menos la suma de las amortizaciones de capital realizadas hasta ese
momento)
|
CAs = S AM (siendo CAs el
capital amortizado)
|
Una vez que sabemos la evolución del saldo
vivo, se calcula fácilmente el importe de los intereses de cada cuota:
Is = Ss-1 * i * t
|
En cada periodo se
aplica el tipo de interés vigente en ese momento.
De esta manera se puede completar el
cuadro de amortizaciones:
Periodo
|
Saldo vivo
|
Amortización
de capital
|
Intereses
|
Cuota periódica
|
Capital
amortizado
|
año 0
|
4.000.000
|
0
|
0
|
0
|
0
|
año 1
|
3.333.333
|
666.666
|
360.000
|
1.026.666
|
666.666
|
año 2
|
2.666.666
|
666.666
|
300.000
|
966.666
|
1.333.333
|
año 3
|
2.000.000
|
666.666
|
240.000
|
906.666
|
2.000.000
|
año 4
|
1.333.333
|
666.666
|
200.000
|
866.666
|
2.666.666
|
año 5
|
666.666
|
666.666
|
133.333
|
800.000
|
3.333.333
|
año 6
|
0
|
666.666
|
66.666
|
733.333
|
4.000.000
|
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