Renta
diferida y anticipada
La renta diferida es
aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de
alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses.
La renta anticipada es aquella en la que se calcula su
valor final en un momento posterior a la fiscalización de la renta.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de
depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos
meses.
En la modalidad de renta diferida, lo que varía
respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor
inicial, ya que el valor final coincide con la terminación de la renta
(al igual que en los modelos que hemos visto).
En la renta anticipada, la peculiaridad está en el
cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la
renta .
Estas modalidades de renta diferida o anticipada
pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:
Una renta diferida puede ser una renta
temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (tambi�n prepagable o pospagable).
Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en
rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no
terminan nunca.
Vamos a analizar ahora en que medida estas
peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta.
A) RENTA DIFERIDA
Vamos a suponer que entre el momento de la valoración
y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.
Luego la diferencia con los modelos que hemos
analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de
la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada
importe "d" periodos adicionales.
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:
Periodo
|
Importe
descontado
|
Importe
descontado
|
(Renta
normal)
|
(Renta
diferida)
|
|
1
|
1 / ( 1 + i )
|
1 / ( 1 + i
)^1+d
|
2
|
1 / ( 1 + i
)^2
|
1 / ( 1 + i
)^2+d
|
3
|
1 / ( 1 + i
)^3
|
1 / ( 1 + i
)^3+d
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
n-2
|
1 / ( 1 + i
)^n-2
|
1 / ( 1 + i
)^n-2+d
|
n-1
|
1 / ( 1 + i
)^n-1
|
1 / ( 1 + i
)^n-1+d
|
n
|
1 / ( 1 + i
)^n
|
1 / ( 1 + i
)^n+d
|
Luego, el valor actual sería el
siguiente:
Renta normal
|
Renta
diferida
|
|
Valor actual
|
Ao = (1 - (1
+ i)^-n)/ i
|
Ao = (1+i)^-d
* ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
|
Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso.
En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta
diferida en los distintos supuesto:
Tipo de renta
|
Renta normal
|
Renta
diferida
|
Temporal
pospagable
|
Ao = (1 - (1
+ i)^-n)/i
|
d/Ao =
(1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
|
Temporal
prepagable
|
Ao = (1 + i)
* ((1 - (1
+ i)^-n)/ i)
|
d/Ao =
(1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i)
|
Perpetua
pospagable
|
APo =
1 / i
|
d/APo = (1+i)^-d / i
|
Perpetua
prepagable
|
APo =
(1 + i) / i
|
d/APo = (1+i)^-d+1 / i
|
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta
perpetua anual pospagable de 300.000 €, con un tipo de interés anual del 16%, y
que se encuentra diferida 2 años:
Aplicamos la fórmula
Vo = C * d/APo
|
luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 /
0,16
|
luego, Vo = 1.393.430 €.
|
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta
semestral prepagable de 1.000.000€. durante 7 años, con un tipo de interes
anual del 8%, y que se encuentra diferida 3 años:
Como los importes son semestrales tendremos que
utilizar la base semestral
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
luego, i2 = 3,92%
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Aplicamos ahora la fórmula de valor
actual, Vo = C *d/APo
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
luego, Vo
= C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
luego,
Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 *
((1 - (1,0392)^-14)/0,0392)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(los periodos van expresados en semestres)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
luego, Vo = 1.000.000*0,825*10,619
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
luego, Vo = 8.760.783 €.
B) RENTA ANTICIPADA
Comentamos en la lección anterior que en las rentas
anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado
es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el
mismo.
Vamos a suponer que entre el momento final y el de
la valoración transcurren "k" periodos.
La diferencia en el cálculo del valor final está en
que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento
final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que
capitalizarlo "k" periodos adicionales.
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:
Luego, el valor
final sería el siguiente:
Este mismo razonamiento se
aplica también en el caso de la renta prepagable:
Hemos comentado en la lección anterior, que la
modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales,
pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se
puede calcular un valor final.
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta
perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un
tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años:
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta
trimestral prepagable de 150.000 €. durante 5 años, con un tipo de interés
anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio:
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